En la bóveda de la iglesia de Torres del Río, podemos apreciar la bella figura de un octógono y las diagonales que unen los vértices que se encuentran a 3 lados de distancia. Contándolas con cuidado vemos que son 8, y que cumplen la bonita propiedad de que podemos trazarlas todas sin levantar el lápiz del papel. ¿Podrías decirme en cuál de las siguientes figuras se cumple la misma propiedad?
a) En el heptágono con las diagonales que unen vértices a 2 lados de distancia.
b) En un eneágono con las diagonales que unen vértices a 3 lados de distancia.
c) En un octógono con las diagonales que unen vértices a 2 lados de distancia.
d) En un decágono con las diagonales que unen vértices a 2 lados de distancia.
Para resolver esta cuestión y generalizar el criterio a seguir en este tipo de problemas, vamos a ver una serie de conceptos y resultados matemáticos, que exponemos a continuación.
Definición de grupo
Un grupo está formado por un conjunto de elementos al que llamaremos ”números” y una forma de relacionarlos que llamaremos ”operación” que deben cumplir las siguientes propiedades:
-) Propiedad asociativa: Dados tres números a, b y c se cumple que (a+b)+c =a+(b+c)
-) Existencia del elemento neutro (que denotaremos por 0): El 0 es el único número que verifica que dado cualquier número del grupo se cumpla lo siguiente a+0 = a = 0+a
-) Existencia del opuesto: Dado cualquier número a debe de existir un único número b de tal manera que a+b = 0
Ejemplos:
-) Z con la suma es el ejemplo por excelencia.
-) Q con la multiplicación. Aquí el elemento neutro es el 1 porque 1 x a = a = a x 1
¿Qué es Zn?
Zn es un grupo con muy pocos "números", exactamente n donde n es un número natural: 1, 2, 3, ...). Por ejemplo Z5 tiene 5 "números". Antes de explicar cómo se suman estos elementos explicaremos de dónde vienen.
Sea m un número entero, y lo dividimos por n, tenemos entonces un resto qué va de 0 a n-1. Ejemplo: -12 lo divido por 5, entonces -12 = 5 * (-3) + 3. el resto que obtenemos es 3 y este número está entre 0 y 4.
Pues Zn es nada más ni nada menos que los restos que van de 0 a n-1. Ya sabemos qué son los números pero, ¿cómo es su operación? Su operación es la suma y para saber cuál es la suma de dos números de Zn procedemos a sumarlos cómo si fueran números enteros y luego lo dividimos por n. Por ejemplo: en Z14 10 + 7 = 3 ya que al dividir 17 entre 14 obtenemos como resto 3.
Zn está relacionado con la pregunta de Torres del Río porque podemos enumerar los vértices de cualquier polígono de n vértices de manera anti horaria con los números 0, 1, 2, ..., n-1. ¡Exactamente como los números de Zn! Observe también que si por ejemplo en un octógono (Z8) nos estamos moviendo a vértices que se encuentran a 3 lados de distancia. Si estamos en el vértice 1 pasamos al 4, y si estamos en el 7 pasamos al 2. ¡Obtenemos justamente el resultado de sumar el número del vértice con 3! Para poder saber que respuesta es la correcta a la pregunta debemos introducir el concepto de subgrupo y explicar el Teorema de Lagrange.
Subgrupos y Teorema de Lagrange
Un subgrupo de un grupo es un conjunto de "números"más pequeño que los "números"del grupo dónde la operación en ellos sigue cumpliendo las mismas propiedades. No hay que olvidarse que cuando se operan dos "números"del subgrupo el resultado tiene que ser un "número"del subgrupo.
Ejemplo: Un subgrupo de los números enteros con la suma, son los números pares (incluido el 0, el 0 debe de estar porque de lo contrario no verificaría la existencia del elemento neutro) porque la suma de dos números pares es un número par. En cambio, los números impares no lo cumplen ya que la suma de dos números impares da un número par.
El Teorema de Lagrange es un conocido Teorema de Álgebra qué nos dice, en caso de que existan los subgrupos, cómo tienen que ser.
Dado un grupo finito de n "números 2 un subgrupo suyo de m "números"se tiene que cumplir que m divida a n.
En general no es cierto que si m divide a n haya un subgrupo de m "números". Pero en el caso de Zn SI se cumple debido a una proposición de Álgebra que nos dice lo siguiente:
Si el grupo es Zn y m divide a n, entonces existe un único subgrupo de Zn con m "números".
Resolución de la pregunta
¿Qué tiene que ver los subgrupos con la pregunta? Pues mucho, ya que cuando vamos sumando desde el vértice 0 una cantidad dada hay un momento en el que volvemos a pasar por el 0 y el conjunto de los números por los que pasa forman un subgrupo.
Ejemplo: en Z8 sumando 2 obtendríamos el 0, 2, 4, 6 y 8, pero el 8 = 8 x 1 + 0, es decir, vuelve a ser el 0. Entonces 0,2,4,6 es un subgrupo de Z8. Observe que este subgrupo tiene exactamente 4 "números"justamente el resultado de dividir 8 entre 2.
Existe una fórmula para poder saber cuántos "números"tiene el subgrupo de Zn generado por ir sumando m y es la siguiente:
La cantidad de "números"del subgrupo es n/mcd(n;m).
Por tanto, para poder pasar por todos los vértices necesitamos que el subgrupo tenga exactamente n ”números” y por tanto el máximo común divisor de n y m debe ser 1. Por ejemplo, eso ocurre en el octógono cuando m es 3 y por esta razón obtenemos esa figura estrellada.
No hay comentarios:
Publicar un comentario