Vidrieras

En el Camino de Santiago se pasa por pueblos y ciudades con iglesias y catedrales. Algo que llama mucho la atención de estos lugares, por su gran belleza artística y geométrica, son las vidrieras.

Con esta actividad, proponemos a los más pequeños un reto, diseñar vidrieras llamativas con piezas tan simples como son los triángulos equiláteros y cuadrados. Para ello, les hacemos la siguiente pregunta: “¿Cuál es el mayor número de lados que puede tener un polígono (no necesariamente regular) construido con triángulos equiláteros y cuadrados?”. 

Para consultar la memoria completa de la actividad, visitar el siguiente enlace:

http://www.mediafire.com/view/7q6qck9a6l56ih5/Vidrieras.pdf

Zn y su relación con la geometría

En el juego "El Camino Matemático", en una de las casillas, concretamente la de Torres del Río, se nos plantea el siguiente problema:

En la bóveda de la iglesia de Torres del Río, podemos apreciar la bella figura de un octógono y las diagonales que unen los vértices que se encuentran a 3 lados de distancia. Contándolas con cuidado vemos que son 8, y que cumplen la bonita propiedad de que podemos trazarlas todas sin levantar el lápiz del papel. ¿Podrías decirme en cuál de las siguientes figuras se cumple la misma propiedad?

a) En el heptágono con las diagonales que unen vértices a 2 lados de distancia.
b) En un eneágono con las diagonales que unen vértices a 3 lados de distancia.
c) En un octógono con las diagonales que unen vértices a 2 lados de distancia.
d) En un decágono con las diagonales que unen vértices a 2 lados de distancia.



Para resolver esta cuestión y generalizar el criterio a seguir en este tipo de problemas, vamos a ver una serie de conceptos y resultados matemáticos, que exponemos a continuación.



Definición de grupo

Un grupo está formado por un conjunto de elementos al que llamaremos ”números” y una forma de relacionarlos que llamaremos ”operación” que deben cumplir las siguientes propiedades:
-) Propiedad asociativa: Dados tres números a, b y c se cumple que (a+b)+c =a+(b+c)
-) Existencia del elemento neutro (que denotaremos por 0): El 0 es el único número que verifica que dado cualquier número del grupo se cumpla lo siguiente a+0 = a = 0+a
-) Existencia del opuesto: Dado cualquier número a debe de existir un único número b de tal manera que a+b = 0

Ejemplos:
-) Z con la suma es el ejemplo por excelencia.
-) Q con la multiplicación. Aquí el elemento neutro es el 1 porque 1 x a = a = a x 1


¿Qué es Zn?

Zn es un grupo con muy pocos "números", exactamente n donde n es un número natural: 1, 2, 3, ...). Por ejemplo Z5 tiene 5 "números". Antes de explicar cómo se suman estos elementos explicaremos de dónde vienen.

Sea m un número entero, y lo dividimos por n, tenemos entonces un resto qué va de 0 a n-1. Ejemplo: -12 lo divido por 5, entonces -12 = 5 * (-3) + 3. el resto que obtenemos es 3 y este número está entre 0 y 4.
Pues Zn es nada más ni nada menos que los restos que van de 0 a n-1. Ya sabemos qué son los números pero, ¿cómo es su operación? Su operación es la suma y para saber cuál es la suma de dos números de Zn procedemos a sumarlos cómo si fueran números enteros y luego lo dividimos por n. Por ejemplo: en Z14 10 + 7 = 3 ya que al dividir 17 entre 14 obtenemos como resto 3.

Zn está relacionado con la pregunta de Torres del Río porque podemos enumerar los vértices de cualquier polígono de n vértices de manera anti horaria con los números 0, 1, 2, ..., n-1. ¡Exactamente como los números de Zn! Observe también que si por ejemplo en un octógono (Z8) nos estamos moviendo a vértices que se encuentran a 3 lados de distancia. Si estamos en el vértice 1 pasamos al 4, y si estamos en el 7 pasamos al 2. ¡Obtenemos justamente el resultado de sumar el número del vértice con 3! Para poder saber que respuesta es la correcta a la pregunta debemos introducir el concepto de subgrupo y explicar el Teorema de Lagrange.


Subgrupos y Teorema de Lagrange

Un subgrupo de un grupo es un conjunto de "números"más pequeño que los "números"del grupo dónde la operación en ellos sigue cumpliendo las mismas propiedades. No hay que olvidarse que cuando se operan dos "números"del subgrupo el resultado tiene que ser un "número"del subgrupo.

Ejemplo: Un subgrupo de los números enteros con la suma, son los números pares (incluido el 0, el 0 debe de estar porque de lo contrario no verificaría la existencia del elemento neutro) porque la suma de dos números pares es un número par. En cambio, los números impares no lo cumplen ya que la suma de dos números impares da un número par.

El Teorema de Lagrange es un conocido Teorema de Álgebra qué nos dice, en caso de que existan los subgrupos, cómo tienen que ser.

Dado un grupo finito de n "números 2 un subgrupo suyo de m "números"se tiene que cumplir que m divida a n.

En general no es cierto que si m divide a n haya un subgrupo de m "números". Pero en el caso de Zn SI se cumple debido a una proposición de Álgebra que nos dice lo siguiente:

Si el grupo es Zn y m divide a n, entonces existe un único subgrupo de Zn con m "números".


Resolución de la pregunta

¿Qué tiene que ver los subgrupos con la pregunta? Pues mucho, ya que cuando vamos sumando desde el vértice 0 una cantidad dada hay un momento en el que volvemos a pasar por el 0 y el conjunto de los números por los que pasa forman un subgrupo.

Ejemplo: en Z8 sumando 2 obtendríamos el 0, 2, 4, 6 y 8, pero el 8 = 8 x 1 + 0, es decir, vuelve a ser el 0. Entonces 0,2,4,6 es un subgrupo de Z8. Observe que este subgrupo tiene exactamente 4 "números"justamente el resultado de dividir 8 entre 2.

Existe una fórmula para poder saber cuántos "números"tiene el subgrupo de Zn generado por ir sumando m y es la siguiente:

La cantidad de "números"del subgrupo es n/mcd(n;m).

Por tanto, para poder pasar por todos los vértices necesitamos que el subgrupo tenga exactamente n ”números” y por tanto el máximo común divisor de n y m debe ser 1. Por ejemplo, eso ocurre en el octógono cuando m es 3 y por esta razón obtenemos esa figura estrellada.

El Camino Matemático

¿QUÉ ES “EL CAMINO MATEMÁTICO”?

El Camino Matemático es un juego de ordenador con acertijos matemáticos ambientados en el Camino de Santiago.

Se trata de un peregrino que comienza su peregrinación a Santiago de Compostela desde Sant Jean Pied de Port y cada día tiene que recorrer una etapa diferente, planteándose en cada momento cuestiones matemáticas sobre todo lo que observa a su alrededor.

El juego acaba cuando el peregrino consigue llegar a Santiago, superando todos los acertijos surgidos durante el camino, y obteniendo así la Compostela.

Juego inicialmente

¿CÓMO SE JUEGA A “EL CAMINO MATEMÁTICO”?

Es fácil jugar a “El Camino Matemático”. Una vez cargada la aplicación, para comenzar el juego se pulsa el botón “Empezar”. Tras esto, los jugadores se colocan en las casillas de salida, y se sortea cuál de ellos comienza el juego.

El jugador que comienza, pulsa el botón “Lanzar”, para lanzar un dado. Obtiene, por tanto, un número del 1 al 6, que será el número de casillas que se desplazará.

Cuando el jugador ya sabe el número que ha obtenido, pulsa el botón “Mover” y se desplaza hasta la casilla que le corresponda. Una vez ahí, se pulsa el botón “Ver pregunta” para visualizar el acertijo a resolver.

Algunos acertijos se responderán introduciendo algún dato en un cuadro de texto. Otros, por el contrario, se responderán eligiendo una respuesta de entre 4. Para saber de qué tipo es cada acertijo, basta con fijarse en qué parte de la aplicación se ilumina cuando se visualiza la pregunta.

Acertijo para responder introduciendo un dato

Acertijo para responder eligiendo una respuesta de entre 4 posibles

Al visualizar la pregunta, el jugador tiene un tiempo indefinido para responderla.

Si el acertijo es de introducir dato, lo introduce en el cuadro de texto y pulsa el botón “Responder”.

En cambio, si es de elegir la respuesta, se selecciona el botón correspondiente a la respuesta que se quiere dar y se pulsa el botón “Responder” correspondiente.

Dependiendo de si el jugador ha acertado o no la respuesta, verá en pantalla un mensaje de texto como los siguientes.

Mensaje cuando se acierta la pregunta

Mensaje cuando se falla la pregunta

Si el jugador ha acertado, vuelve a tirar. En caso contrario, es el turno del otro jugador.

A lo largo de todo el juego, se repite el procedimiento expuesto anteriormente. Gana el primer jugador que consiga llegar Santiago y obtener su Compostela.

DESCARGAS

Para descargar el archivo con el juego pincha en el siguiente enlace:

http://www.mediafire.com/download/cqa8sgbz8htdhbk/juegocamino.rar

Te dirigirá a una página desde la que puedes descargar el juego con sólo pulsar el botón "Descargar".

Una vez descargado, tendrás que descomprimir la carpeta, utilizando para ello un programa como WinZip. Cuando lo hayas descomprimido, entra en la carpeta y pulsa el archivo "camino" (una aplicación). Se abrirá entonces el juego y verás un mensaje de un peregrino que te explicará algunos datos interesantes. Cierra este mensaje y ya puedes comenzar una partida, tal y como hemos explicado anteriormente.

Si prefieres ver un vídeo con un tutorial sobre cómo jugar, descarga el vídeo del siguiente enlace:

http://www.mediafire.com/watch/i4k1i7eua31r8i7/El_Camino_Matemático.wmv

En él se ve a alguien jugando una partida y explicando paso por paso lo que hay que hacer en cada momento.

Esta fue una de las actividades presentadas a Ciencia en Acción XIII dentro de nuestro proyecto "Matemáticas en el Camino". En un principio, lo pensamos como un juego para jóvenes de entre 13 y 16 años por el nivel matemático de las cuestiones, juego que les puede servir como complemento a su formación académica en dicha materia. Pero cualquiera que quiera viajar a una época medieval, buscando el punto de vista matemático, puede jugar a "El Camino Matemático".

Introducción

Hola a todos,

Bienvenidos a nuestro blog, MATESCAMINO, que trata, como su nombre indica, de las Matemáticas que podemos encontrar en el Camino de Santiago.


La motivación para la creación de este blog surgió hace varios años, cuando elaboramos varias actividades sobre Matemáticas en el Camino de Santiago para presentar un proyecto al concurso Ciencia en Acción. En aquel momento, decidimos crear un blog en el que se recogiesen dichas actividades, para que cualquiera pudiese acceder a ellas desde cualquier lugar.


Ese blog, con el paso del tiempo, y debido a un largo periodo de inactividad, acabó desapareciendo. Pero para volver a hacer nuestras actividades accesibles a cualquiera hemos decidido comenzar un nuevo blog y, esta vez, intentar conservarlo y difundirlo más.


En los próximos días iremos actualizando el blog, introduciendo entradas con las actividades ya elaboradas en su día. Y, posiblemente, con el paso del tiempo, podamos ir añadiendo alguna actividad inédita (siempre, de creación propia).


Esperamos que os sirva de utilidad.

Ángela y Jesús